向量外积（也称为向量积或叉积）可以用来求三角形的面积。假设我们有三角形的三个顶点 ( A )，( B )，和 ( C )，它们的坐标分别是 ( A(x_1, y_1, z_1) )，( B(x_2, y_2, z_2) )，和 ( C(x_3, y_3, z_3) )。我们可以使用向量外积来求三角形的面积。

首先，我们定义向量 ( \overrightarrow{AB} ) 和 ( \overrightarrow{AC} )：

[ \overrightarrow{AB} = B - A = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) ]

向量外积 ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ) 的模长等于以 ( \overrightarrow{AB} ) 和 ( \overrightarrow{AC} ) 为邻边的平行四边形的面积。因此，三角形 ( ABC ) 的面积是这个模长的一半。

向量外积 ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ) 的计算公式是：

[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} ]

这个行列式展开后得到：

[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \left( (y_2 - y_1)(z_3 - z_1) - (z_2 - z_1)(y_3 - y_1) \right) - \mathbf{j} \left( (x_2 - x_1)(z_3 - z_1) - (z_2 - z_1)(x_3 - x_1) \right) + \mathbf{k} \left( (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) \right) ]

向量外积的模长是：

[ | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{ \left( (y_2 - y_1)(z_3 - z_1) - (z_2 - z_1)(y_3 - y_1) \right)^2 + \left( (z_2 - z_1)(x_3 - x_1) - (x_2 - x_1)(z_3 - z_1) \right)^2 + \left( (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) \right)^2 } ]

因此，三角形 ( ABC ) 的面积 ( A ) 是：

[ A = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | ]

这就是使用向量外积求三角形面积的方法。在二维情况下，如果三角形的顶点是 ( A(x_1, y_1) )，( B(x_2, y_2) )，和 ( C(x_3, y_3) )，那么面积公式简化为：

[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]

这个公式是向量外积在二维平面上的特例。