三角形计数（Triangle Counting，TC）是图论中的一个重要问题，广泛应用于社交网络分析、通信网络等领域。下面我将介绍如何在简单无向图上实现三角形计数算法，并给出相应的代码示例。

算法思路

1. 数据结构选择：

   • 使用邻接表表示图，这样可以高效地遍历每个节点的邻居。
   • 使用集合来存储边，以便快速查询是否存在边。

2. 三角形计数方法：

   • 对于每一对相邻的顶点 (u, v)，查找它们的共同邻居。如果顶点 w 是 u 和 v 的共同邻居，那么 (u, v, w) 就构成一个三角形。

3. 重复计数处理：

   • 每个三角形会被三个不同的顶点组合计数一次，因此最后的结果需要除以 3。

代码实现

以下是 Python 中的一个简单实现示例：

from collections import defaultdict

def count_triangles(edges):
    # 构建邻接表
    graph = defaultdict(set)
    
    # 处理边，忽略重边和自环
    for u, v in edges:
        if u != v:  # 忽略自环
            graph[u].add(v)
            graph[v].add(u)  # 无向图，所以添加双向边
    
    triangle_count = 0

    # 遍历每一对邻接节点
    for u in graph:
        for v in graph[u]:
            if u < v:  # 只考虑(u, v)一对，避免重复
                # 找到共同邻居
                common_neighbors = graph[u].intersection(graph[v])
                triangle_count += len(common_neighbors)

    return triangle_count

# 示例边列表
edges = [
    (1, 2),
    (2, 3),
    (3, 1),
    (1, 4),
    (2, 4),
    (3, 4),
]

# 调用函数
triangles = count_triangles(edges)
print("三角形的数量:", triangles)

代码解析

1. 构建邻接表：使用 defaultdict(set) 来存储邻接关系，避免重边和自环。

2. 计数三角形：

   • 对每一对邻接节点 (u, v) 进行遍历。
   • 计算 u 和 v 的共同邻居，并将共同邻居的数量累加到 triangle_count。
   • 注意我们只计算 u < v 的情况，以避免重复计数。

3. 输出结果：打印最终的三角形数量。

性能分析

这个算法的复杂性主要取决于图的密度。在最坏情况下，复杂度为 (O(V^2 + E))，其中 (V) 是顶点数，(E) 是边数。对于稀疏图，该算法表现良好，但在非常密集的图中，可能会变得低效。

总结

上述实现提供了一种有效的方法来计算简单无向图中的三角形数量。根据具体应用场景，可以对算法进行优化，例如使用并行计算等技术来提升性能。