vector<pair<int, int>> 是 C++ 标准库提供的一种数据结构，具体解释如下：

1. vector：

   • vector 是 C++ STL（标准模板库）中的一个动态数组容器。它可以根据需要自动调整大小，支持快速随机访问元素。
   • 它的基本用法是存储一系列相同类型的元素。

2. pair<int, int>：

   • pair 是 C++ STL 中的一个模板类，用于存储两个相关联的值。它可以存储不同类型的数据，但在这个例子中，两个值都是 int 类型。
   • pair<int, int> 表示一个包含两个整数的对象，通常用来表示一个边的两个端点（即图中的顶点）。

结合使用

当你看到 vector<pair<int, int>> 时，这意味着你有一个动态数组，其中每个元素都是一个 pair<int, int> 类型的对象。这通常用于表示边的列表，例如图的边集，其中每个 pair 表示一条边的两个端点。

示例

假设我们有一个无向图的边集：

vector<pair<int, int>> edges = {
    {1, 2},
    {2, 3},
    {3, 1},
    {1, 4},
    {2, 4},
    {3, 4},
};

在这个例子中：

• {1, 2} 表示顶点 1 和顶点 2 之间有一条边。
• {2, 3} 表示顶点 2 和顶点 3 之间有一条边。
• 以此类推，整个 edges 向量表示了一组边，构成了一个图。

下面是一个用 C++ 实现的三角形计数算法。这个实现使用邻接表存储图，并计算三角形的数量。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_set>
#include <unordered_map>

using namespace std;

// 函数：计算三角形的数量
int countTriangles(const vector<pair<int, int>>& edges) {
    // 构建邻接表
    unordered_map<int, unordered_set<int>> graph;

    // 添加边到邻接表
    for (const auto& edge : edges) {
        int u = edge.first;
        int v = edge.second;

        if (u != v) { // 忽略自环
            graph[u].insert(v);
            graph[v].insert(u); // 无向图，所以添加双向边
        }
    }

    int triangleCount = 0;

    // 遍历每一对邻接节点
    for (const auto& [u, neighbors] : graph) {
        for (int v : neighbors) {
            if (u < v) { // 只考虑(u, v)一对，避免重复
                // 找到共同邻居
                int commonNeighbors = 0;
                for (int w : neighbors) {
                    if (graph[v].count(w)) { // 检查w是否在v的邻居中
                        commonNeighbors++;
                    }
                }
                triangleCount += commonNeighbors;
            }
        }
    }

    return triangleCount;
}

int main() {
    // 示例边列表
    vector<pair<int, int>> edges = {
        {1, 2},
        {2, 3},
        {3, 1},
        {1, 4},
        {2, 4},
        {3, 4},
    };

    // 调用函数
    int triangles = countTriangles(edges);
    cout << "三角形的数量: " << triangles << endl;

    return 0;
}

代码解析

1. 数据结构：

   • 使用 unordered_map 来实现邻接表，每个顶点映射到其邻居的集合 (unordered_set)。

2. 构建邻接表：

   • 遍历边列表，将每条边加入邻接表中，同时忽略自环。

3. 三角形计数：

   • 对于每对邻接的顶点 (u, v)，检查 u 和 v 的共同邻居。
   • 通过检查 v 的邻居是否在 u 的邻居集合中来找到共同邻居，并累加计数。
   • 只考虑 u < v 的情况以避免重复计数。

4. 输出结果：

   • 在 main 函数中，调用 countTriangles 函数并打印结果。

性能分析

该算法与前面的 Python 实现类似，复杂度为 (O(V^2 + E))，其中 (V) 是顶点数，(E) 是边数。在稀疏图中表现良好，但在非常密集的图中可能效率较低。

总结

这个 C++ 实现提供了一个基本的方法来计算简单无向图中的三角形数量。可以根据具体需求对其进行优化，例如使用并行处理或者更高效的数据结构来提升性能。

三角形计数（Triangle Counting，TC）是图论中的一个重要问题，广泛应用于社交网络分析、通信网络等领域。下面我将介绍如何在简单无向图上实现三角形计数算法，并给出相应的代码示例。

算法思路

1. 数据结构选择：

   • 使用邻接表表示图，这样可以高效地遍历每个节点的邻居。
   • 使用集合来存储边，以便快速查询是否存在边。

2. 三角形计数方法：

   • 对于每一对相邻的顶点 (u, v)，查找它们的共同邻居。如果顶点 w 是 u 和 v 的共同邻居，那么 (u, v, w) 就构成一个三角形。

3. 重复计数处理：

   • 每个三角形会被三个不同的顶点组合计数一次，因此最后的结果需要除以 3。

代码实现

以下是 Python 中的一个简单实现示例：

from collections import defaultdict

def count_triangles(edges):
    # 构建邻接表
    graph = defaultdict(set)
    
    # 处理边，忽略重边和自环
    for u, v in edges:
        if u != v:  # 忽略自环
            graph[u].add(v)
            graph[v].add(u)  # 无向图，所以添加双向边
    
    triangle_count = 0

    # 遍历每一对邻接节点
    for u in graph:
        for v in graph[u]:
            if u < v:  # 只考虑(u, v)一对，避免重复
                # 找到共同邻居
                common_neighbors = graph[u].intersection(graph[v])
                triangle_count += len(common_neighbors)

    return triangle_count

# 示例边列表
edges = [
    (1, 2),
    (2, 3),
    (3, 1),
    (1, 4),
    (2, 4),
    (3, 4),
]

# 调用函数
triangles = count_triangles(edges)
print("三角形的数量:", triangles)

代码解析

1. 构建邻接表：使用 defaultdict(set) 来存储邻接关系，避免重边和自环。

2. 计数三角形：

   • 对每一对邻接节点 (u, v) 进行遍历。
   • 计算 u 和 v 的共同邻居，并将共同邻居的数量累加到 triangle_count。
   • 注意我们只计算 u < v 的情况，以避免重复计数。

3. 输出结果：打印最终的三角形数量。

性能分析

这个算法的复杂性主要取决于图的密度。在最坏情况下，复杂度为 (O(V^2 + E))，其中 (V) 是顶点数，(E) 是边数。对于稀疏图，该算法表现良好，但在非常密集的图中，可能会变得低效。

总结

上述实现提供了一种有效的方法来计算简单无向图中的三角形数量。根据具体应用场景，可以对算法进行优化，例如使用并行计算等技术来提升性能。